Question

如圖，P為△ABC所在平面外一點，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC于H，求證：H是△ABC的垂心，△ABC為銳角三角形．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質

專題：證明題

分析：（1），由三條側棱PA，PB，PC兩兩垂直可以得到PA⊥面PBC，進而得到PA⊥BC，由PH⊥平面ABC于H，BC?面ABC，可得PH⊥BC，故BC⊥平面APE，從而有AE?面APE，即可得∴BC⊥AE；同理可以證明才CH⊥AB，又BH⊥AC．即可證明H是△ABC的垂心．  
（2），可以通過余弦定理解決．

解答： 證明：（1）連接AH并延長交BC于一點E，連接PH，由于PA，PB，PC兩兩垂直可以得到PA⊥面PBC，而BC?面PBC，∴BC⊥PA，
∵PH⊥平面ABC于H，BC?面ABC，∴PH⊥BC，∴BC⊥平面APE，∵AE?面APE，
∴BC⊥AE；
同理可以證明才CH⊥AB，又BH⊥AC．
∴H是△ABC的垂心．  
（2）設PA=a；PB=b；PC=c，則AB²=a²+b²，同理BC²=c²+b²，Ac²=a²+c²，在三角形ABC中，由余弦定理得：cosA=

AB2+AC2-BC2

2×AB×AC

=

a2+b2+a2+c2-c2-b2

2 a2+b2 a2+c2

=

a2

a2+b2 a2+c2

＞0，同理可證cosB＞0，cosC＞0，所以，△ABC是銳角三角形．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明法：利用判定定理證明；以及解三角形的有關理論，第二問在立體幾何中考查平面幾何問題，要注意在空間的某個平面內，平面幾何的有關定理、公式等結論仍然成立，屬于基本知識的考查．