Question

若函數f（x）=lnx，若對所有的x∈[e，+∞）都有xf（x）≥ax-a成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：計算題,分類討論,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：方法一、由題意得轉化為：x∈[e，+∞）都有xlnx≥ax-a成立，分離出a后構造函數h（x）=

xlnx

x-1

，利用導數求出此函數在[e，+∞）上的最小值；
方法二、由xlnx≥ax-a構造函數h（x）=xlnx-ax+a，利用導數求出h（x）在[e，+∞）上的最小值，需要對a進行分類討論．

解答： 解法一、由題意得，x∈[e，+∞）都有xlnx≥ax-a成立，即a≤

xlnx

x-1

，
令h（x）=

xlnx

x-1

，x∈[e，+∞），
則h′（x）=

(xlnx)′(x-1)-xlnx

(x-1)2

=

x-lnx-1

(x-1)2

，
∵當x≥e時，（x-lnx-1）′=1-

1

x

＞0，
∴x-lnx-1≥e-lne-1=e-2＞0，即h′（x）＞0，
則h（x）在[e，+∞）上遞增，故h（x）_min=h（e）=

e

e-1

，
∴a≤

e

e-1

；
解法二、由xlnx≥ax-a得，xlnx-ax+a≥0，
令h（x）=xlnx-ax+a，則當在[e，+∞）上時，h（x）_min≥0，
則h′（x）=lnx+1-a，由h′（x）=0得x=e^a-1，
當0＜x＜e^a-1時，h′（x）＜0；當x＞e^a-1時，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，e^a-1）上單調遞減，在（e^a-1，+∞）上單調遞增，
①當a≤2時，e^a-1≤e
∴h（x）在（e，+∞）上單調遞增，
∴h（x）_min=h（e）=e-ae+a≥0，即a≤

e

e-1

，
②當a＞2時，h（e）≥0，即e-ae+a≥0，得e+a≥ae，
若2＜a＜e，則e+a＜2e＜ae；若a≥e，則e+a≤2a＜ae，
∴a＞2不成立，
綜上所述a≤

e

e-1

．

點評：本題考查了導數與函數的單調性關系，以及恒成立問題轉化為求單調性和最值等綜合應用，考查了分類討論思想、轉化思想和分離常數方法．