Question

6．已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數，其圖象關于點M（$\frac{3π}{4}$，0）對稱，且在區間[0，$\frac{π}{2}$]上是單調函數，則ω=$\frac{2}{3}$或2．

Answer 1

分析 根據正弦、余弦函數的奇偶性、對稱性和單調性，進行求解即可．

解答 解：∵f（x）=sin（ωx+φ）是R上的偶函數，0≤φ≤π，
∴φ=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{2}$）=cosωx；
又f（x）圖象關于點M（$\frac{3π}{4}$，0）對稱，
∴f（$\frac{3π}{4}$）=cos（$\frac{3π}{4}$ω）=0，
即$\frac{3π}{4}$ω=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
即ω=$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{3}$k，k∈Z；
又f（x）在區間[0，$\frac{π}{2}$]上是單調函數，
∴$\frac{T}{2}$≥$\frac{π}{2}$，即$\frac{π}{ω}$≥$\frac{π}{2}$，
解得0＜ω≤2；
當k=0時，ω=$\frac{2}{3}$，
當k=1時，ω=2，
∴ω的值為$\frac{2}{3}$或2．
故答案為：$\frac{2}{3}$或2．

點評 本題主要考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，利用三角函數的單調性、奇偶性和對稱性是解題的關鍵．