Question

11．已知函數$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+acosx$，g（x）是f（x）的導函數．
（1）若f（x）在$（\frac{π}{2}，f（\frac{π}{2}））$處的切線方程為$y=\frac{π+2}{2}x-\frac{{{π^2}+4π}}{8}$，求a的值；
（2）若a≥0且f（x）在x=0時取得最小值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數f（x）的導數，可得切線的斜率，結合已知切線方程，可得a的值；
（2）求出f（x）的導數，可得g（x）的解析式和導數，討論a=0，a＞0，分0＜a≤1，a＞1，求出單調區間和極值、最值，結合零點存在定理，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）函數$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+acosx$，
f′（x）=x-asinx，f′（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$-a=$\frac{π+2}{2}$，
所以a=-1，經驗證a=-1合題意；
（2）g（x）=f′（x）=x-asinx，g′（x）=1-acosx，
①當a=0時，f（x）=$\frac{1}{2}$x²，顯然在x=0時取得最小值，∴a=0合題意；
②當a＞0時，
（i）當$\frac{1}{a}$≥1即0＜a≤1時，g′（x）≥0恒成立，
∴g（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，又g（0）=0，
∴當x＜0時，g（x）＜0 即f′（x）＜0，當x＞0時，g（x）＞0 即f′（x）＞0
∴f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增；
∴f（x） 在x=0時取得最小值，
∴當0＜a≤1時合題意；
（ii）當0＜$\frac{1}{a}$＜1即a＞1時，在（0，π）內存在唯一x₀=arccos$\frac{1}{a}$使g′（x）=0，
當x∈（0，x₀）時，∵y=cosx在（0，π）上是單調遞減的，∴cosx＞cosx₀=$\frac{1}{a}$，
∴g′（x）=a （$\frac{1}{a}$-cosx）＜0，∴g（x） 在（0，x₀）上單調遞減，∴g（x）＜g（0）=0．
即f′（x）＜0，∴f（x）在（0，x₀）內單調遞減；
∴x∈（0，x₀）時，f（x）＜0  這與f（x）在x=0時取得最小值即f（x）≥f（0）矛盾，
∴當a＞1時不合題意；
綜上，a的取值范圍是[0，1]．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調區間、極值和最值，考查分類討論思想方法以及方程思想、轉化思想，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．