Question

1．已知e是自然對數的底數，函數f（x）=（ax²+x）e^x，若f（x）在[-1，1]上是單調增函數，則a的取值范圍是（　　）

• A． [-$\frac{2}{3}$，0]
• B． （-∞，0）∪[$\frac{2}{3}$，+∞）
• C． [0，$\frac{2}{3}$]
• D． （-∞，-$\frac{2}{3}$]∪[0，+∞）

Answer 1

分析 求出原函數的導函數，分a=0和a≠0兩種情況討論，a≠0時由導函數的判別式大于0可知導函數有兩個零點，分a＞0和a＜0兩種情況進一步討論，可知a＞0時不合題意，a＜0時需要導函數在[-1，1]上恒大于等于0列式求a的取值范圍．

解答 解：由f（x）=（ax²+x）e^x，得：
f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x）e^x=[ax²+（2a+1）x+1]e^x，
①當a=0時，f′（x）=（x+1）e^x，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，
當且僅當x=-1時取等號，故a=0符合要求；
②當a≠0時，令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，
因為△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，
所以g（x）有兩個不相等的實數根x₁，x₂，不妨設x₁＞x₂，
因此f（x）有極大值又有極小值．
若a＞0，因為g（-1）g（0）=-a＜0，
所以f（x）在（-1，1）內有極值點，
故f（x）在[-1，1]上不單調．
若a＜0，可知x₁＞0＞x₂，因為g（x）的圖象開口向下，要使f（x）在[-1，1]上單調，
因為g（0）=1＞0，必須滿足$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（-1）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3a+2≥0}\\{-a≥0}\end{array}\right.$，所以-$\frac{2}{3}$≤a≤0．
綜上可知，a的取值范圍是[-$\frac{2}{3}$，0]，
故選：A．

點評 本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，考查了分類討論的數學思想方法，訓練了方程的根與二次函數的圖象之間的關系，屬中檔題．