Question

10．拋物線y²=4x的焦點為F，其準(zhǔn)線與x軸的交點為N，過點F作直線與拋物線交于A，B兩點，若$\overrightarrow{NB}•\overrightarrow{AB}=0$，則|AF|-|BF|=（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 設(shè)直線l的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，分別求得A和B點橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的焦半徑公式，即可求得則|AF|-|BF|．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點為F（1，0），假設(shè)直線AN的斜率k存在，設(shè)AB方程為：y=k（x-1），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0
設(shè)兩交點為A（x₂，y₂），B（x₁，y₁），
∵$\overrightarrow{NB}•\overrightarrow{AB}=0$，則∠NBF=90°，
∴（x₁-1）（x₁+1）+y₁²=0，
∴x₁²+y₁²=1，∴x₁²+4x₁-1=0（x₁＞0），∴x₁=-2+$\sqrt{5}$，
∵x₁x₂=1，∴x₂=2+$\sqrt{5}$，
∴|AF|-|BF|=（x₂+1）-（x₁+1）=4，
故選C．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．