Question

18．某公司計劃明年用不超過6千萬元的資金投資于本地養魚場和遠洋捕撈隊．經過本地養魚場年利潤率的調研，得到如圖所示年利潤率的頻率分布直方圖．對遠洋捕撈隊的調研結果是：年利潤率為60%的可能性為0.6，不賠不賺的可能性為0.2，虧損30%的可能性為0.2．假設該公司投資本地養魚場的資金為x（x≥0）千萬元，投資遠洋捕撈隊的資金為y（y≥0）千萬元．
（1）利用調研數據估計明年遠洋捕撈隊的利潤ξ的分布列和數學期望Eξ．
（2）為確保本地的鮮魚供應，市政府要求該公司對本地養魚場的投資不得低于遠洋捕撈隊的一半．適用調研數據，給出公司分配投資金額的建議，使得明年兩個項目的利潤之和最大．

Answer 1

分析 （1）隨機變量ξ的可能取值為0.6y，0，-0.3y，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量ξ的分布列和Eξ．
（2）根據題意得，x，y滿足的條件，由頻率分布直方圖求出本地養魚場的年平均利潤率為0.20x千萬元，從而明年連個個項目的利潤之和為z=0.2x+0.3y，作出x，y滿足的可行域，由此能求出公司投資本地養魚場和遠洋捕撈隊的資金應分別為2千萬元、4千萬元時，明年兩個項目的利潤之和的最大值為1.6千萬元．

解答 解：（1）隨機變量ξ的可能取值為0.6y，0，-0.3y，
隨機變量ξ的分布列為，

ξ	0.6y	0	-0.3y
P	0.6	0.2	0.2

∴Eξ=0.36y-0.06y=0.3y；
（2）根據題意得，x，y滿足的條件為$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≤6}\\{x≥\frac{1}{2}y}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}}\right.$①，
由頻率分布直方圖得本地養魚場的年平均利潤率為：
-0.3×0.2×0.5+（-0.1）×0.2×0.5+0.1×0.2×1.0+0.3×0.2×2.0+0.5×0.2×1.0=0.20，
∴本地養魚場的年利潤為0.20x千萬元，
∴明年連個個項目的利潤之和為z=0.2x+0.3y，
作出不等式組①所表示的平面區域若下圖所示，即可行域．
當直線z=0.2x+0.3y經過可行域上的點M時，截距$\frac{z}{0.3}$最大，即z最大．
解方程組$\left\{{\begin{array}{l}{x+y=6}\\{x=\frac{1}{2}y}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}}\right.$
∴z的最大值為：0.20×2+0.30×4=1.6千萬元．
即公司投資本地養魚場和遠洋捕撈隊的資金應分別為2千萬元、4千萬元時，明年兩個項目的利潤之和的最大值為1.6千萬元．

點評 本題考查頻率分布直方圖、離散型隨機變量的分布列、數學期望、線性規劃等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力，考查數形結合思想，是中檔題．