Question

5．某學校有甲、乙兩個實驗班，為了了解班級成績，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩個班學生中分別抽取8名和6名測試他們的數學成績與英語成績（單位：分），用表示（m，n）．下面是乙班6名學生的測試分數：A（138，130），B（140，132），C（140，130），D（134，140），E（142，134），F（134，132），當學生的數學、英語成績滿足m≥135，且n≥130時，該學生定為優秀學生．
（1）已知甲班共有80名學生，用上述樣本數據估計乙班優秀生的數量；
（2）從乙班抽出的上述6名學生中隨機抽取3名，求至少有兩名優秀生的概率；
（3）從乙班抽出的上述6名學生中隨機抽取2名，其中優秀生數記為ξ，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （1）設乙班共有學生x名，則$\frac{8}{80}=\frac{6}{x}$，解得x=60．即乙班共有學生60名．由測試成績可知：A，B，C，E四名學生為優秀生，即可得出．
（2）至少有兩名優秀生的情況包括兩種：一種是只有兩名優秀學生，另一種是3名都是優秀生．利用互斥事件與相互獨立事件、古典概率計算公式即可得出．
（3）由已知可得：ξ的值為0，1，2，從乙班抽出的上述6名學生中隨機抽取1名是優秀生的概率為$\frac{2}{3}$．
則ξ～B$（2，\frac{2}{3}）$，P（ξ=k）=${∁}_{2}^{k}（\frac{2}{3}）^{k}（\frac{1}{3}）^{2-k}$，即可得出分布列與數學期望．

解答 解：（1）設乙班共有學生x名，則$\frac{8}{80}=\frac{6}{x}$，解得x=60．即乙班共有學生60名．由測試成績可知：A，B，C，E四名學生為優秀生，∴$60×\frac{4}{6}$=40．
∴用上述樣本數據估計乙班優秀生的數量為40
（2）至少有兩名優秀生的情況包括兩種：一種是只有兩名優秀學生，另一種是3名都是優秀生．
∴要求的概率P=$\frac{{∁}_{4}^{2}{∁}_{2}^{1}+{∁}_{4}^{3}}{{∁}_{6}^{3}}$=$\frac{4}{5}$．
（3）由已知可得：ξ的值為0，1，2，從乙班抽出的上述6名學生中隨機抽取1名是優秀生的概率為$\frac{2}{3}$．
則ξ～B$（2，\frac{2}{3}）$，P（ξ=k）=${∁}_{2}^{k}（\frac{2}{3}）^{k}（\frac{1}{3}）^{2-k}$，可得P（ξ=0）=$\frac{1}{9}$，P（ξ=1）=$\frac{4}{9}$，P（ξ=0）=$\frac{4}{9}$．

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{4}{9}$

∴Eξ=$2×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了分層抽樣、互斥事件與相互獨立事件、古典概率計算公式、二項分布列的計算公式與數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．