Question

15．如圖，E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的中點．
（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形；
（2）求證：直線BD∥平面EFGH；
（3）若AC⊥BD，且AC=12，BD=8，求四邊形EFGH的面積．

Answer 1

分析 （1）推導出EH∥BD，且 EH=$\frac{1}{2}$BD，FG∥BD，且 FG=$\frac{1}{2}$BD，由此能證明四邊形EFGH為平行四邊形．
（2）由BD∥EH，能證明BD∥平面EFGH．
（3）推導出EF∥AC，且 EF=$\frac{1}{2}$AC=6，EH∥BD，且 EH=$\frac{1}{2}$BD=4，由AC⊥BD，得EH⊥EF，從而四邊形EFGH為矩形，由此能求出四邊形EFGH的面積．

解答 證明：（1）在△ABD中，∵E為AB中點，H為AD中點，
∴EH∥BD，且 EH=$\frac{1}{2}$BD，…（1分）
同理：FG∥BD，且 FG=$\frac{1}{2}$BD，…（2分）
∴EH∥FG，且EH=FG，
∴四邊形EFGH為平行四邊形．  …（4分）
（2）由（1）知，BD∥EH，
又BD?平面EFGH，EH?平面EFGH…（7分）
∴BD∥平面EFGH…（8分）
解：（3）在△ABC中，∵E為AB中點，F為BC中點，AC⊥BD，且AC=12，BD=8，
∴EF∥AC，且 EF=$\frac{1}{2}$AC=6，…（10分）
又EH∥BD，且 EH=$\frac{1}{2}$BD=4，…（12分）
由AC⊥BD，得EH⊥EF，即四邊形EFGH為矩形，
∴四邊形EFGH的面積S=EH•EF=24…（14分）

點評 本題考查四邊形為平行四邊形的證明，考查線面平行的證明，考查四邊形的面積的求法，考查線線垂直、線面平行的證明，考查點到平面的距離的求法，涉及到空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力，考查數形結合思想，是中檔題．