Question

4．已知過點P（2，-2）的直線l與曲線y=$\frac{1}{3}$x³-x相切，則直線l的方程為y=-x或y=8x-18．

Answer 1

分析 設切點為（x₀，y₀），根據導數的幾何意義求出曲線在點x₀處的切線斜率，可得切線方程，代入切點，便可建立關于x₀的方程．求得x₀，從而求得過點且與曲線C相切的直線方程．

解答 解：設直線與曲線切于點（x₀，y₀）（x₀≠0），∵y=$\frac{1}{3}$x³-x，
∴y′=x₀²-1．
∴切線方程為y+2=（x₀²-1）（x-2）
∴y₀+2=（x₀²-1）（x₀-2）
∵y₀=$\frac{1}{3}$x₀³-x₀，
∴$\frac{1}{3}$x₀³-x₀+2=（x₀²-1）（x₀-2）
∴x₀=0，或x₀²=3，∴k=x₀²-1=8或-1，
故直線l的方程y=-x或y=8x-18．
故答案為：y=-x或y=8x-18．

點評 此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會根據一點坐標和斜率寫出直線的方程，是一道綜合題．