Question

9．若f（x）是偶函數，且在[0，+∞）上函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（{\frac{3}{4}}）^x}，x＜1\\ 3-\frac{9}{4}x，x≥1\end{array}\right.$，則$f（{-\frac{3}{2}}）$與$f（{{a^2}+2a+\frac{5}{2}}）$的大小關系是（　　）

• A． $f（{-\frac{3}{2}}）＞f（{{a^2}+2a+\frac{5}{2}}）$
• B． $f（{-\frac{3}{2}}）＜f（{{a^2}+2a+\frac{5}{2}}）$
• C． $f（{-\frac{3}{2}}）≥f（{{a^2}+2a+\frac{5}{2}}）$
• D． $f（{-\frac{3}{2}}）≤f（{{a^2}+2a+\frac{5}{2}}）$

Answer 1

分析 根據題意，分析函數f（x）在區間[0，+∞）的單調性，由函數為偶函數可得$f（{-\frac{3}{2}}）$=f（$\frac{3}{2}$），分析可得a²+2a+$\frac{5}{2}$=（a+1）²+$\frac{3}{2}$≥$\frac{3}{2}$，結合函數在[0，+∞）的單調性分析可得答案．

解答 解：根據題意，在[0，+∞）上函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（{\frac{3}{4}}）^x}，x＜1\\ 3-\frac{9}{4}x，x≥1\end{array}\right.$，
則函數在區間（1，+∞）上為減函數，
若f（x）是偶函數，則$f（{-\frac{3}{2}}）$=f（$\frac{3}{2}$），
又由a²+2a+$\frac{5}{2}$=（a+1）²+$\frac{3}{2}$≥$\frac{3}{2}$，
則有f（$\frac{3}{2}$）≥f（a²+2a+$\frac{5}{2}$），
即f（-$\frac{3}{2}$）≥f（a²+2a+$\frac{5}{2}$），
故選：C．

點評 本題考查函數奇偶性與單調性的綜合應用，關鍵是分析函數在區間[0，+∞）上的單調性．