Question

3．${（{{x^2}-\frac{1}{x}+3}）^4}$的展開式中常數項是117．

Answer 1

分析 ${（{{x^2}-\frac{1}{x}+3}）^4}$的展開式的通項公式：T_r+1=${∁}_{4}^{r}$3^4-r$（{x}^{2}-\frac{1}{x}）^{r}$.$（{x}^{2}-\frac{1}{x}）^{r}$的通項公式：T_k+1=${∁}_{r}^{k}（{x}^{2}）^{r-k}（-\frac{1}{x}）^{k}$=（-1）^k${∁}_{r}^{k}$x^2r-3k．令2r-3k=0，則k=0時，r=0；k=2時，r=3．代入即可得出．

解答 解：${（{{x^2}-\frac{1}{x}+3}）^4}$的展開式的通項公式：T_r+1=${∁}_{4}^{r}$3^4-r$（{x}^{2}-\frac{1}{x}）^{r}$．
$（{x}^{2}-\frac{1}{x}）^{r}$的通項公式：T_k+1=${∁}_{r}^{k}（{x}^{2}）^{r-k}（-\frac{1}{x}）^{k}$=（-1）^k${∁}_{r}^{k}$x^2r-3k．
令2r-3k=0，則k=0時，r=0；k=2時，r=3．
∴${（{{x^2}-\frac{1}{x}+3}）^4}$的展開式中常數項=3⁴+${∁}_{3}^{2}×{∁}_{4}^{3}×3$=117．
故答案為：117．

點評 本題考查了二項式定理的應用、分類討論，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．