Question

12．已知F₁，F₂是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦點，離心率為$\frac{1}{2}$，M、N是平面內兩點，滿足$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=-2$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，線段NF₁的中點P在橢圓上，△F₁MN周長為12
（1）求橢圓C的方程；
（2）若與圓x²+y²=1相切的直線l與橢圓C交于A、B，求$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$（其中O為坐標原點）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設|F₁P|=m，|F₂P|=n，$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=-2$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，可得F₂是線段F₁M的中點，又線段NF₁的中點P在橢圓上，△F₁MN周長為12．可得m+n=2a，2m+2n+4c=12，可得a+c=3．由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，解出即可得出．
（2）如圖所示，①當AB⊥x軸時，把x=±1代入橢圓方程可得：$\frac{1}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，解出可得：$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=-$\frac{5}{4}$．
②當AB的斜率存在時，設切線AB的方程為：y=kx+m．利用切線的性質可得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即：m²=1+k²．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把y=kx+m代入橢圓方程可得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，把根與系數的關系代入$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$-\frac{5+5{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，即可得出．

解答 解：（1）設|F₁P|=m，|F₂P|=n，
∵$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=-2$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，∴F₂是線段F₁M的中點，
又線段NF₁的中點P在橢圓上，△F₁MN周長為12．
∴m+n=2a，2m+2n+4c=12，可得a+c=3．
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
解得a=2，c=1，b²=3．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）如圖所示，
①當AB⊥x軸時，把x=±1代入橢圓方程可得：$\frac{1}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
解得：y=$±\frac{3}{2}$．
可得：$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=$1-\frac{9}{4}$=-$\frac{5}{4}$．
②當AB的斜率存在時，設切線AB的方程為：y=kx+m．
則$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，化為：m²=1+k²．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
把y=kx+m代入橢圓方程可得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△＞0．
∴x₁+x₂=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=km（x₁+x₂）+k²x₁•x₂+m²
∴$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=km（x₁+x₂）+（k²+1）x₁•x₂+m²
=km•$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$+（k²+1）$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+m²
=$\frac{7{m}^{2}-12{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$
=$-\frac{5+5{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$
=$-\frac{5}{4}$-$\frac{5}{12+16{k}^{2}}$∈$[-\frac{5}{3}，-\frac{5}{4}）$，
綜上可得：$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$∈$[-\frac{5}{3}，-\frac{5}{4}]$．

點評 本題考查了直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數的關系、直線與圓相切的性質、點到直線的距離公式、數量積運算性質、函數的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．