Question

20．如圖，在三棱錐A-BCD中，已知△ABD，△BCD都是邊長為2的等邊三角形，E為BD中點，且AE⊥平面BCD，F為線段AB上一動點，記$\frac{BF}{BA}=λ$．
（1）當$λ=\frac{1}{3}$時，求異面直線DF與BC所成角的余弦值；
（2）當CF與平面ACD所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{15}}}{10}$時，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）連結CE，以EB、EC、EA分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線DF與BC所成角的余弦值．
（2）求出平面ACD的法向量，由CF與平面ACD所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{15}}}{10}$，利用向量法能求出λ．

解答 解：（1）連結CE，以EB、EC、EA分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，$\sqrt{3}$），B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），D（-1，0，0），
∵F是線段AB上一動點，且$\frac{BF}{BA}$=λ，
則$\overrightarrow{BF}=λ\overrightarrow{BA}$=$λ（-1，0，\sqrt{3}）$=（-$λ，0，\sqrt{3}λ$），∴F（1-λ，0，$\sqrt{3}λ$），
當$λ=\frac{1}{3}$時，F（$\frac{2}{3}，0，\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{5}{3}，0，\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{CB}$=（1，-$\sqrt{3}$，0），
∴cos＜$\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{CB}$＞=$\frac{\frac{5}{3}}{\sqrt{（\frac{5}{3}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}•\sqrt{{1}^{2}+（-\sqrt{3}）^{2}}}}$=$\frac{5\sqrt{28}}{56}$，
∴異面直線DF與BC所成角的余弦值為$\frac{5\sqrt{28}}{56}$．
（2）$\overrightarrow{CF}$=（1-$λ，-\sqrt{3}，\sqrt{3}λ$），$\overrightarrow{DA}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DC}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
設平面ACD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，-1，-1$），
∵CF與平面ACD所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{15}}}{10}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{CF}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|2\sqrt{3}（1-λ）|}{\sqrt{（1-λ）^{2}+3+（\sqrt{3}λ）^{2}}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$，
解得$λ=\frac{1}{2}$或λ=2（舍），
∴λ=2．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，考查實數值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想、數形結合思想，考查創新意識、應用意識，是中檔題．