Question

8．設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A為鈍角，且b=atanB．
（1）證明：$A-B=\frac{π}{2}$；
（2）求sinB+2sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據正弦定理、商的關系化簡已知的式子，由條件和誘導公式求出A-B的值；
（2）由（1）求出B的范圍，由誘導公式和二倍角的余弦公式變形化簡，利用二次函數的性質求出取值范圍．

解答 解：（1）證明：△ABC中，由b=atanB，
得sinB=sinA×$\frac{sinB}{cosB}$，
則cosB=sinA；
又A為鈍角，∴A=$\frac{π}{2}$+B，
∴A-B=$\frac{π}{2}$；
（2）由（1）知C=π-（A+B）=π-（$\frac{π}{2}$+B+B）=$\frac{π}{2}$-2B＞0，
∴B∈（0，$\frac{π}{4}$），
∴sinB+2sinC=sinB+2sin（$\frac{π}{2}$-2B）
=sinB+2cos2B=sinB+2（1-2sin²B）
=-4（sinB-$\frac{1}{8}$）²+$\frac{33}{16}$；
又B∈（0，$\frac{π}{4}$），
∴0＜sinB＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由二次函數的性質可知，
$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜-4（sinB-$\frac{1}{8}$）²+$\frac{33}{16}$≤$\frac{33}{16}$，
∴sinB+2sinC的取值范圍是（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{33}{16}$]．

點評 本題考查了三角函數中恒等變換的應用以及正弦定理和二次函數的性質，熟練掌握公式和定理是解題的關鍵．