Question

19．若存在兩個正實數x，y，使得等式2x+a（y-2ex）（lny-lnx）=0成立，則實數a的取值范圍為（　　）

• A． $[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{e}}]$
• B． $（{0，\frac{2}{e}}]$
• C． $（{-∞，0}）∪[{\frac{2}{e}，+∞}）$
• D． $（{-∞，-\frac{1}{2}}）∪[{\frac{1}{e}，+∞}）$

Answer 1

分析 根據函數與方程的關系將方程進行轉化，利用換元法轉化為方程有解，構造函數求函數的導數，利用函數極值和單調性的關系進行求解即可．

解答 解：由2x+a（y-2ex）（lny-lnx）=0得2x+a（y-2ex）ln$\frac{y}{x}$=0，
即2+a（$\frac{y}{x}$-2e）ln$\frac{y}{x}$=0，
即設t=$\frac{y}{x}$，則t＞0，
則條件等價為2+a（t-2e）lnt=0，
即（t-2e）lnt=-$\frac{2}{a}$有解，
設g（t）=（t-2e）lnt，
g′（t）=lnt+1-$\frac{2e}{t}$為增函數，
∵g′（e）=lne+1-$\frac{2e}{e}$=1+1-2=0，
∴當t＞e時，g′（t）＞0，
當0＜t＜e時，g′（t）＜0，
即當t=e時，函數g（t）取得極小值，為g（e）=（e-2e）lne=-e，
即g（t）≥g（e）=-e，
若（t-2e）lnt=-$\frac{2}{a}$有解，
則-$\frac{2}{a}$≥-e，即$\frac{2}{a}$≤e，
則a＜0或a≥$\frac{2}{e}$，
故選：C

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，根據函數與方程的關系，轉化為兩個函數相交問題，利用構造法和導數法求出函數的極值和最值是解決本題的關鍵．綜合性較強．