Question

9．已知函數$f（x）=\frac{{-{3^x}+a}}{{{3^{x+1}}+b}}$．
（1）當a=b=1時，求滿足f（x）=3^x的x的取值；
（2）若函數f（x）是定義在R上的奇函數存在t∈R，不等式f（t²-2t）＜f（2t²-k）有解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據3^x+1=3•3^x，可將方程f（x）=3^x轉化為一元二次方程：3•（3^x）²+2•3^x-1=0，再根據指數函數范圍可得${3^x}=\frac{1}{3}$，解得x=-1，
（2）先根據函數奇偶性確定a，b值：a=1，b=3，再利用單調性定義確定其單調性：在R上遞減．最后根據單調性轉化不等式f（t²-2t）＜f（2t²-k）為t²-2t＞2t²-k即t²+2t-k＜0在t∈R時有解，根據判別式大于零可得k的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，當a=b=1時，$\frac{{-{3^x}+1}}{{{3^{x+1}}+1}}={3^x}$，化簡得3•（3^x）²+2•3^x-1=0
解得${3^x}=-1（舍）或{3^x}=\frac{1}{3}$，所以x=-1．
（2）因為f（x）是奇函數，所以f（-x）+f（x）=0，
所以$\frac{{-{3^x}+a}}{{{3^{-x+1}}+b}}+\frac{{-{3^x}+a}}{{{3^{x+1}}+b}}=0$化簡并變形得：（3a-b）（3^x+3^-x）+2ab-6=0
要使上式對任意的x成立，則3a-b=0且2ab-6=0解得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}或\left\{{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-3}\end{array}}\right.}\right.$，
因為f（x）的定義域是R，所以$\left\{{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-3}\end{array}}\right.$舍去，
所以a=1，b=3，所以$f（x）=\frac{{-{3^x}+1}}{{{3^{x+1}}+3}}$，
①$f（x）=\frac{{-{3^x}+1}}{{{3^{x+1}}+3}}=\frac{1}{3}（{-1+\frac{2}{{{3^x}+1}}}）$
對任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂有：$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{1}{3}（{\frac{2}{{{3^{x_1}}+1}}-\frac{2}{{{3^{x_2}}+1}}}）=\frac{2}{3}（{\frac{{{3^{x_2}}-{3^{x_1}}}}{{（{{3^{x_1}}+1}）（{{3^{x_2}}+1}）}}}）$
因為x₁＜x₂，所以${3^{x_2}}-{3^{x_1}}＞0$，所以f（x₁）＞f（x₂），
因此f（x）在R上遞減．因為f（t²-2t）＜f（2t²-k），所以t²-2t＞2t²-k，
即t²+2t-k＜0在t∈R時有解
所以△=4+4t＞0，解得：t＞-1，
所以k的取值范圍為（-1，+∞）

點評 本題主要考查函數奇偶性的應用，根據函數奇偶性的定義以及函數奇偶性和單調性的關系將不等式進行轉化是解決本題的關鍵．綜合性較強，運算量較大．