Question

20．已知定義在R上的函數f（x）滿足f（x）=f（4-x），且當x≥2時，f（x）=4^x+2^x-6，則f（x）在區間[0，4]上的最大值與最小值分別為（　　）

• A． 266，14
• B． 256，14
• C． 256，-$\frac{21}{4}$
• D． 266，-4

Answer 1

分析 根據函數的對稱性可得函數的對稱軸為x=2，問題轉化為函數f（x）在[2，4]上的最值，設2^x=t，t∈[4，16]，根據函數的單調性即可求出函數的最值．

解答 解：∵f（x）=f（4-x），
∴函數的對稱軸為x=2，
∴f（x）在區間[0，4]上的最值，即為在[2，4]上的最值．
設2^x=t，t∈[4，16]，
∴f（t）=t²+t-6，
∴對稱軸為t=-$\frac{1}{2}$，
∴f（t）在[4，16]上為增函數，
∴f（t）_max=f（16）=16²+16-6=266，
f（t）_min=f（4）=16+4-6=14，
故選：A

點評 本題考查了函數對稱性和函數的單調性，以及換元法的應用，屬于中檔題．