Question

12．已知數列{a_n}的首項為1，S_n為數列{a_n}的前n項和，S_n=qS_n-1+1，其中q＞0，n＞1，n∈N^*．
（1）若2a₂，a₃，a₂+2 成等差數列，求{a_n}的通項公式；
（2）設雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{{a}_{n}^{2}}$=1 的離心率為e_n，且e₂=3，求e${\;}_{1}^{2}$+e${\;}_{2}^{2}$+…+e${\;}_{n}^{2}$．

Answer 1

分析 （1）由條件利用等比數列的定義和性質，求得數列{a_n}為首項等于1、公比為q的等比數列，再根據2a₂，a₃，a₂+2成等差數列求得公比q的值，可得{a_n}的通項公式．
（2）由（1）可得a_n=q^n-1；又由雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{{a}_{n}^{2}}$=1 的離心率為e_n，且e₂=3，分析可得e₂=q=2$\sqrt{2}$，進而可得數列{a_n}的通項公式，再次由雙曲線的幾何性質可得e_n²=1+a_n²=1+8^n-1，運用分組求和法計算可得答案．

解答 解：（Ⅰ）：∵S_n+1=qS_n+1 ①，
∴當n≥2時，S_n=qS_n-1+1 ②，兩式相減可得a_n+1=q•a_n，
即從第二項開始，數列{a_n}為等比數列，公比為q．
當n=1時，
∵數列{a_n}的首項為1，
∴a₁+a₂=S₂=q•a₁+1，
∴a₂ =a₁•q，
∴數列{a_n}為等比數列，公比為q．
∵2a₂，a₃，a₂+2成等差數列，
∴2a₃ =2a₂+a₂+2，
∴2q²=2q+q+2，求得q=2，
則數列{a_n}是以1為首項，公比為2的等比數列，
則a_n=1×2^n-1=2^n-1；
（Ⅱ）由（1）可得數列{a_n}是以1為首項，公比為q的等比數列，
則a_n=1×q^n-1=q^n-1；
若e₂=3，則e₂=$\sqrt{1+{a}_{2}^{2}}$=3，
解可得a₂=2$\sqrt{2}$，
則a₂=q=2$\sqrt{2}$，即q=2$\sqrt{2}$，
a_n=1×q^n-1=q^n-1=（2$\sqrt{2}$）^n-1，
則e_n²=1+a_n²=1+8^n-1，
故e₁²+e₂²+…+e_n²=n+（1+8+8²+…+8^n-1）=n+$\frac{{8}^{n}-1}{7}$

點評 本題考查數列的遞推公式以及數列的求和，涉及雙曲線的簡單幾何性質，注意題目中q＞0這一條件．