Question

3．已知點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1兩個不同的動點，且滿足x₁•y₁+x₂•y₂=-$\sqrt{2}$，則y₁²+y₂²的值是1．

Answer 1

分析 設A（$\sqrt{2}$cosα，sinα），B=（$\sqrt{2}$cosβ，sinβ），α，β∈[0，2π），則得到x₁•y₁+x₂•y₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin2α+sin2β）=-$\sqrt{2}$，即sin2α+sin2β=-2，根據三角函數的性質，可得sin2α=sin2β=-1，即可求出α=$\frac{3π}{4}$，β=$\frac{7π}{4}$，即可求出答案．

解答 解：設A（$\sqrt{2}$cosα，sinα），B=（$\sqrt{2}$cosβ，sinβ），α，β∈[0，2π）
∴x₁•y₁+x₂•y₂=$\sqrt{2}$sinαcosα+$\sqrt{2}$sinβcosβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin2α+sin2β）=-$\sqrt{2}$，
∴sin2α+sin2β=-2，
∵-1≤sin2α≤1，-1≤sin2β≤1，
∴sin2α=sin2β=-1，
∵點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1兩個不同的動點，
∴不妨令α=$\frac{3π}{4}$，β=$\frac{7π}{4}$，
∴y₁²+y₂²=sin²α+sin²β=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1，
故答案為：1

點評 本題考查了橢圓的參數方程，以及三角函數的有界性，屬于中檔題．