Question

13．已知等比數列{a_n}中，a₂=2，a₄=8，數列{b_n}滿足：b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1）．
（1）求數列{a_n}和數列{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=$\frac{{{a_n}{b_n}}}{n}$，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過等比數列{a_n}中，a₂=2，a₄=8，求出公比q=±2，即可得到通項公式，
根據b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1），利用累加法計算可知b_n=n（n-2），
（2）根據錯位相減法即可求出前n項和

解答 解：（1）等比數列{a_n}中，a₂=2，a₄=8，
∴q²=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{2}}$=4，
∴q=±2，
∴a₁=±1，
當a₁=1，q=2時，a_n=2^n-1，
當a₁=-1，q=-2時，a_n=-（-2）^n-1，
∵b₁=-1，b_n+1=b_n+2n-1，
∴當n≥2時，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=（2n-3+2n-5+…+3+1）-1
=$\frac{（n-1）（1+2n-3）}{2}$-1=（n-1）²-1=n²-2n=n（n-2）
又∵b₁=-1滿足上式，
∴b_n=n（n-2）
（2）當a_n=2^n-1時c_n=$\frac{{{a_n}{b_n}}}{n}$=（n-2）2^n-1，
∴T_n=-1×2⁰+0×2¹+1×2²+2×2³+…+（n-2）2^n-1，
∴2T_n=-1×2¹+0×2²+1×2³+2×2⁴+…+（n-3）2^n-1+（n-2）2ⁿ，
∴-T_n=-1+2¹+2²+2³+2⁴+…+2^n-1-（n-2）2ⁿ=-1+$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n-2）2ⁿ=-3+（3-n）2ⁿ，
∴T_n=3+（n-3）2ⁿ，
當a_n=-（-2）^n-1時c_n=$\frac{{{a_n}{b_n}}}{n}$=-（n-2）（-2）^n-1，
∴T_n=-[-1×（-2）⁰+0×（-2）¹+1×（-2）²+2×（-2）³+…+（n-2）（-2）^n-1]，
∴-T_n=-1×（-2）⁰+0×（-2）¹+1×（-2）²+2×（-2）³+…+（n-2）（-2）^n-1，
∴2T_n=-1×（-2）¹+0×（-2）²+1×（-2）³+2×（-2）⁴+…+（n-3）（-2）^n-1+（n-2）（-2）ⁿ，
∴-3T_n=-1+（-2）¹+（-2）²+（-2）³+（-2）⁴+…+（-2）^n-1-（n-2）（-2）ⁿ
=-1+$\frac{-2（1-（-2）^{n-1}）}{1+2}$-（n-2）（-2）ⁿ=-$\frac{5}{3}$-（n-$\frac{5}{3}$）（-2）ⁿ，
∴T_n=$\frac{5}{9}$+$\frac{1}{3}$（n-$\frac{5}{3}$）（-2）ⁿ．

點評 本題主要考查數列的通項公式的求法、前n項和公式的求法，考查等差數列、等比數列等基礎知識，考查抽象概括能力，推理論證能力，運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，解題時要注意錯位相減法的合理運用．