Question

20．設函數f（x）=|x-1|+$\frac{1}{2}$|x-3|．
（1）作出函數圖象，并求不等式f（x）＞2的解集；
（2）設g（x）=$\frac{{x}^{2}+m}{x}$，若對于任意的x₁，x₂∈[3，5]都有f（x₁）≤g（x₂）恒成立，求正實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）去掉絕對值，化簡函數的解析式，作出函數的圖象．
（2）由題意可得當x∈[3，5]時，f（x）_max≤g（x）_min，由于當x∈[3，5]時，f（x）_max=3，故g（x）的最小值大于或等于3．分當$\sqrt{m}$∈[3，5]、當$\sqrt{m}$∈（0，3）、當$\sqrt{m}$＞5三種情況，分別求得m的范圍，綜合可得結論．

解答 解：（1）函數f（x）=|x-1|+$\frac{1}{2}$|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5-3x}{2}，x＜1}\\{\frac{x+1}{2}，1≤x＜3}\\{\frac{3x-5}{2}，x≥3}\end{array}\right.$，
如圖所示：
令$\frac{5-3x}{2}$=2，求得x=$\frac{1}{3}$；
令$\frac{x+1}{2}$=2，求得x=3（舍去）；
令$\frac{3x-5}{2}$=2，求得x=3；
故結合圖象，由f（x）＞2的解集為{x|x＜$\frac{1}{3}$，或x＞3}．
（2）設g（x）=$\frac{{x}^{2}+m}{x}$，若對于任意的x₁，x₂∈[3，5]，
都有f（x₁）≤g（x₂）恒成立，
故當x∈[3，5]時，f（x）_max≤g（x）_min．
由于當x∈[3，5]時，f（x）_max=$\frac{3×5-5}{2}$=5，故g（x）的最小值大于或等于5．
∵m＞0，g（x）=x+$\frac{m}{x}$≥2$\sqrt{m}$，
①當且僅當x=$\sqrt{m}$∈[3，5]時取等號，
即m∈[9，25]時，g（x）的最小值2$\sqrt{m}$≥5，求得m≥$\frac{25}{4}$，
綜合可得，m∈[9，25]．
②當$\sqrt{m}$∈（0，3），即0＜m＜9時，$\sqrt{m}$＜3，g（x）=x+$\frac{m}{x}$在[3，5]上單調遞增，
g（x）的最小值為g（3）=3+$\frac{m}{3}$≥5，求得m≥6，
綜合可得，m∈[6，9）．
③當$\sqrt{m}$＞5，即m＞25時，$\sqrt{m}$＞5，g（x）=x+$\frac{m}{x}$在[3，5]上單調遞減，
g（x）的最小值為g（5）=5+$\frac{m}{5}$≥5，求得m≥0，
綜合可得，m∈（25，+∞）．
綜合①②③可得，正實數m的取值范為[6，+∞）．

點評 本題主要考查帶有絕對值的函數，作函數的圖象，函數的恒成立問題，求函數的最值，基本不等式的應用，屬于中檔題．