Question

8．正項等比數列{a_n}中，a₆=a₅+2a₄，若存在兩項a_m，a_n使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}$=4a₁，則$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{{3+2\sqrt{2}}}{6}$
• B． 1
• C． $\frac{11}{5}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 利用等比數列的通項公式可得q，進而點到m+n=6，再利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．

解答 解：設正項等比數列{a_n}的公比為q＞0．
∵$\sqrt{{a_m}{a_n}}=4{a_1}$，且a₆=a₅+2a₄，
∴$\sqrt{{{a}_{1}q}^{m-1}{{•a}_{1}q}^{n-1}}$=4a₁，a₁q⁵=a₁q⁴+2a₁q³，
化為${q}^{\frac{m+n-2}{2}}$=4，q²-q-2=0，q＞0．
解得q=2，∴$\frac{m+n-2}{2}$=2，即m+n=6，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=$\frac{1}{6}$（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$）
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$（$\frac{2m}{n}$+$\frac{n}{m}$）
≥$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$$\sqrt{\frac{2m}{n}•\frac{n}{m}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{3}$
=$\frac{3+2\sqrt{2}}{6}$，
故選：A．

點評 本題考查了等比數列的通項公式、“乘1法”與基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．