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16.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知sinA-sinB=$\frac{1}{3}$sinC,3b=2a,2≤a2+ac≤18,設△ABC的面積為S,p=$\sqrt{2}$a-S,則p的最大值是$\frac{9\sqrt{2}}{8}$.

分析 根據(jù)題意,利用正弦定理求得a、b、c的關系,以及a的取值范圍,再利用余弦定理求得cosB、sinB 的值,從而求得△ABC的面積S,寫出p的解析式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得p的最大值.

解答 解:△ABC中,由sinA-sinB=$\frac{1}{3}$sinC,
利用正弦定理得c=3a-3b,
再根據(jù)3b=2a,2≤a2+ac≤18,
可得c=a,b=$\frac{2a}{3}$,1≤a≤3.
由余弦定理得 b2=$\frac{4{a}^{2}}{9}$=a2+a2-2a•a•cosB,
求得cosB=$\frac{7}{9}$,
∴sinB=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$,
∴△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$•ac•sinB=$\frac{1}{2}$a2•$\frac{4\sqrt{2}}{9}$=$\frac{2\sqrt{2}}{9}$•a2
故p=$\sqrt{2}$a-S=$\sqrt{2}$a-$\frac{2\sqrt{2}}{9}$a2=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$-$\frac{2\sqrt{2}}{9}$(a-$\frac{9}{4}$)2
利用二次函數(shù)的性質(zhì)結合a的范圍1≤a≤3,可得:
當a=$\frac{9}{4}$時,p取得最大值是$\frac{9\sqrt{2}}{8}$.
故答案為:$\frac{9\sqrt{2}}{8}$.

點評 本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用問題,也考查了二次函數(shù)的最值問題,是綜合性題目.

練習冊系列答案
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