Question

6．已知等差數列{a_n}滿足（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+…+（a_n+a_n+1）=2n（n+1）（n∈N*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據數列的遞推公式求出公差d，即可求出數列{a_n}的通項公式，
（2）根據錯位相減法即可求出前n項和．

解答 解：∵（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+…+（a_n+a_n+1）=2n（n+1），①
∴（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+…+（a_n-1+a_n）=2n（n-1），②
由①-②可得，a_n+a_n+1=4n，③，
令n=n-1，可得a_n+a_n-1=4（n-1），④，
由③-④可得2d=4，
∴d=2，
∵a₁+a₂=4，
∴a₁=1，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
（2）$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴S_n=1•（$\frac{1}{2}$）⁰+3•（$\frac{1}{2}$）¹+5•（$\frac{1}{2}$）²+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴$\frac{1}{2}$S_n=1•（$\frac{1}{2}$）¹+3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{2}$S_n=1+2•（$\frac{1}{2}$）¹+2•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+…+2•（$\frac{1}{2}$）^n-1-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=1+2$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=3-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴S_n=6-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）^n-1．

點評 本題考查了利用數列的遞推公式求出通項公式和利用錯位相減法求前n項和，屬于中檔題．