Question

7．已知函數$f（x）={2016^x}+{log_{2016}}（{\sqrt{{x^2}+1}+x}）-{2016^{-x}}+2$，則關于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集為（-$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 可先設g（x）=2016^x+log₂₀₁₆（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2016^-x，根據要求的不等式，可以想著判斷g（x）的奇偶性及其單調性：容易求出g（-x）=-g（x），通過求g′（x），并判斷其符號可判斷其單調性，從而原不等式可變成，g（3x+1）＞g（-x），而根據g（x）的單調性即可得到關于x的一元一次不等式，解該不等式即得原不等式的解．

解答 解：設g（x）=2016^x+log₂₀₁₆（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2016^-x，
g（-x）=2016^-x+log₂₀₁₆（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2016^x=-g（x）；
g′（x）=2016^xln2016+$\frac{\sqrt{{x}^{2}+1}-x}{（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）\sqrt{{x}^{2}+1}ln2016}$+2016^-xln2016＞0；
∴g（x）在R上單調遞增；
∴由f（3x+1）+f（x）＞4得，g（3x+1）+2+g（x）+2＞4；
∴g（3x+1）＞g（-x）；
∴3x+1＞-x；
解得x＞-$\frac{1}{4}$；
∴原不等式的解集為（-$\frac{1}{4}$，+∞），
故答案為：$（{-\frac{1}{4}，+∞}）$．

點評 查對數的運算，平方差公式，奇函數的判斷方法，根據函數導數符號判斷函數單調性的方法，函數單調性定義的運用，并注意正確求導．