Question

14．橢圓H：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1），原點O到直線MN的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中點M（0，-1），點N（a，0）．
（1）求該橢圓H的離心率e；
（2）經過橢圓右焦點F₂的直線l和該橢圓交于A，B兩點，點C在橢圓上，O為原點，
若$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{OB}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）直線MN的方程為：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{-1}$=1，即x-ay-a=0．由$\frac{a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得a=$\sqrt{3}$．利用$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，即可的得出．H的離心率e=$\frac{c}{a}$．
（2）由（1）可知：橢圓H的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{OB}$，可得C$（\frac{1}{2}{x}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{2}，\frac{1}{2}{y}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{2}）$，利用A，B，C都在橢圓上整理化簡可得：x₁x₂+3y₁y₂=0．設直線l的方程為：x=my+$\sqrt{2}$，代入橢圓方程可得：（m²+3）y²+2$\sqrt{2}$my-1=0，利用根與系數的關系代入可得m，對直線l的斜率為0時，直接驗證即可．

解答 解：（1）直線MN的方程為：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{-1}$=1，即x-ay-a=0．∵$\frac{a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得a=$\sqrt{3}$．
又b=1，則$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴該橢圓H的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）由（1）可知：橢圓H的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{OB}$，∴C$（\frac{1}{2}{x}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{2}，\frac{1}{2}{y}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{2}）$，由A，B，C都在橢圓上，∴${x}_{1}^{2}+3{y}_{1}^{2}$=3，①${x}_{2}^{2}+3{y}_{2}^{2}$=3，②$（\frac{1}{2}{x}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{2}）^{2}$+3$（\frac{1}{2}{y}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{2}）^{2}$=3，③，由③化簡整理可得：$\frac{1}{4}$（${x}_{1}^{2}+3{y}_{1}^{2}$）+$\frac{3}{4}$（${x}_{2}^{2}+3{y}_{2}^{2}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x₁x₂+3y₁y₂）=3，
把①②代入化簡可得：x₁x₂+3y₁y₂=0，④．設直線l的方程為：x=my+$\sqrt{2}$，代入橢圓方程可得：（m²+3）y²+2$\sqrt{2}$my-1=0，∴y₁+y₂=$\frac{-2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+3}$，y₁•y₂=$\frac{-1}{{m}^{2}}$+3，
∴x₁x₂=$（m{y}_{1}+\sqrt{2}）$$（m{y}_{2}+\sqrt{2}）$=m²y₁y₂+$\sqrt{2}$m（y₁+y₂）+2，
∴（m²+3）y₁•y₂+$\sqrt{2}$m（y₁+y₂）+2=0，
∴（m²+3）•$\frac{-1}{{m}^{2}}$+$\sqrt{2}$m•$\frac{-2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+3}$+2=0，解得m=±1．
∴直線l的方程為x=±y+$\sqrt{2}$．
當直線l的斜率為0時，其方程為：y=0，此時A（$\sqrt{3}$，0），B（-$\sqrt{3}$，0），不滿足④，舍去．
綜上可得：直線l的方程為x=±y+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、向量坐標運算性質、一元二次方程的根與系數的關系，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．