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19.當a>0,a≠1時,函數f(x)=loga(x-1)+1的圖象恒過定點A,若點A在直線mx-y+n=0上,則4m+2n的最小值是(  )
A.4B.$2\sqrt{2}$C.$\sqrt{2}$D.2

分析 函數f(x)=loga(x-1)+1的圖象恒過定點A(2,1),進而可得2m+n=1,結合基本不等式和指數的運算性質,可得4m+2n≥2$\sqrt{2}$,進而得到答案.

解答 解:當x=2時,loga(x-1)+1=1在a>0,a≠1時恒成立,
故函數f(x)=loga(x-1)+1的圖象恒過定點A(2,1),
由點A在直線mx-y+n=0上,則2m-1+n=0,即2m+n=1,
∴4m+2n=22m+2n≥2$\sqrt{{2}^{2m}•{2}^{n}}$=2$\sqrt{{2}^{2m+n}}$=2$\sqrt{2}$,
即4m+2n的最小值是2$\sqrt{2}$,
故選:B

點評 本題考查的知識點是對數函數的圖象和性質,基本不等式在最值問題中的應用,直線上的點與直線方程,難度中檔.

練習冊系列答案
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