Question

14．已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，當n≥2時，（a_n-S_n-1）²=S_nS_n-1，且a₁=1，設b_n=log₂$\frac{{a}_{n+1}}{6}$，則b_n等于（　　）

• A． 2n-3
• B． 2n-4
• C． n-3
• D． n-4

Answer 1

分析 先根據(jù)數(shù)列的遞推公式得到（S_n-2S_n-1）²=S_nS_n-1，即可得到$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$+$\frac{4{S}_{n-1}}{{S}_{n}}$=5，解得S_n=4S_n-1，即可求出數(shù)列a_n的通項公式，再根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可求出答案．

解答 解：∵a_n=S_n-S_n-1，$（{a}_{n}-{S}_{n-1}）^{2}={S}_{n}{S}_{n-1}$，
∴（S_n-2S_n-1）²=S_nS_n-1，
∴S_n²+4S_n-1²=5S_nS_n-1，
∴$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$+$\frac{4{S}_{n-1}}{{S}_{n}}$=5，
令$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$=t，
∴t+$\frac{4}{t}$=5，
解得t=1或t=4，
∴S_n=S_n-1，或S_n=4S_n-1，
∵正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，
∴S_n≠S_n-1，
∴S_n=4S_n-1，
∵S₁=a₁=1，
∴{S_n}是以1為首項，以4為公比的等比數(shù)列，
∴S_n=4^n-1，
當n=1時，S₁=a₁=1，
當n≥2時，a_n+1=S_n+1-S_n=4ⁿ-4^n-1=3×4^n-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{6}$=$\frac{3×{4}^{n-1}}{6}$=2^2n-3，
∴b_n=log₂$\frac{{a}_{n+1}}{6}$=2n-3，
故選：A．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的通項公式以及等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了學生的運算能力，轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．