Question

4．已知函數f（x）=x⁴-4x³+10x²-27，則方程f（x）=0在[2，10]上的根（　　）

• A． 有3個
• B． 有2個
• C． 有且只有1個
• D． 不存在

Answer 1

分析 先求導f′（x）=4x³-12x²+20x=4x[（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{11}{4}$]，從而得到函數f（x）=x⁴-4x³+10x²-27在[2，10]上單調遞增，再由函數零點的判定定理從而求得方程f（x）=0在[2，10]上的根的個數．

解答 解：∵f（x）=x⁴-4x³+10x²-27，
∴f′（x）=4x³-12x²+20x
=4x[（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{11}{4}$]，
∴f（x）=x⁴-4x³+10x²-27在[2，10]上單調遞增，
又∵f（2）=16-32+40-27=-3，
f（10）=10000-4000+1000-27=6963，
故方程f（x）=0在[2，10]上的根的個數為1個．
故選：C

點評 本題考查了導數的綜合應用，同時考查了函數零點的判定定理，屬于中檔題．