Question

8．7名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男生4人，女生2人，在下列情況下，各有不同站法多少種？
（1）兩名女生必須相鄰而站；
（2）4名男生互不相鄰；
（3）若4名男生身高都不等，按從高到低的順序站；
（4）老師不站中間，女生不站兩端．

Answer 1

分析 （1）將兩女生看作一個元素，使用捆綁法排列；
（2）插空法排列；
（3）相除法計算；
（4）分類法計算．

解答 解：（1）兩名女生站在一起有站法A${\;}_{2}^{2}$種，視為一種元素與其余5人全排，有A${\;}_{6}^{6}$種排法．
故有不同站法A${\;}_{2}^{2}$•A${\;}_{6}^{6}$=1 440種．
（2）先站老師和女生，有站法A${\;}_{3}^{3}$種，再在老師和女生站位的間隔（含兩端）處插入男生，每空一人，有插入方法A${\;}_{4}^{4}$種．
故共A${\;}_{3}^{3}$•A${\;}_{4}^{4}$=144種．
（3）7人全排列中，4名男生不考慮身高順序的站法有A${\;}_{4}^{4}$種，而由高到低有從左到右，或從右到左的不同．
故共有不同站法2•$\frac{{A}_{7}^{7}}{{A}_{4}^{4}}$=420種．
（4）中間和兩端是特殊位置，可如下分類求解：
①老師站兩端之一，另一端由男生站，有A${\;}_{2}^{1}$•A${\;}_{4}^{1}$•A${\;}_{5}^{5}$種站法，
②兩端全由男生站，老師站除兩端和正中間的另外4個位置之一，有A${\;}_{4}^{2}$•A${\;}_{4}^{1}$•A${\;}_{4}^{4}$種站法．
故共有不同站法有A${\;}_{2}^{1}$•A${\;}_{4}^{1}$•A${\;}_{5}^{5}$+A${\;}_{4}^{2}$•A${\;}_{4}^{1}$•A${\;}_{4}^{4}$=2 112種．

點評 本題考查了計數原理，排列與排列數的計算，屬于中檔題．