Question

設點P的坐標為（x₀，y₀），直線l的方程為Ax+By+C=0．請寫出點P到直線l的距離，并加以證明．

Answer 1

考點：點到直線的距離公式

專題：直線與圓

分析：當A=0，則直線l的方程為y=-

C

B

，此時點P到直線l的距離為|y0+

C

B

|，易得結論是成立的；
當A≠0，則直線PH的斜率為

B

A

，方程為y-y0=

B

A

(x-x0)，與直線l的方程聯立可得可解得交點坐標，由兩點間的距離公式可得．

解答： 解：點P到直線l的距離公式為d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

證明：過點P作直線l的垂線，垂足為H．
若A=0，則直線l的方程為y=-

C

B

，此時點P到直線l的距離為|y0+

C

B

|，
而

|Ax0+By0+C|

A2+B2

=

|By0+C|

|B|

=|y0+

C

B

|，可知結論是成立的；
若A≠0，則直線PH的斜率為

B

A

，方程為y-y0=

B

A

(x-x0)，
與直線l的方程聯立可得Ax+By0+

B2

A

(x-x0)+C=0
解得x=

B2x0-ABy0-AC

A2+B2

=x0-A

Ax0+By0+C

A2+B2

，y=y0-B

Ax0+By0+C

A2+B2

據兩點間距離公式得d=

(A Ax0+By0+C A2+B2 )2+(B Ax0+By0+C A2+B2 )2

=|

Ax0+By0+C

A2+B2

|．
綜上可得：點P到直線l的距離公式為d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

點評：本題考查點到直線的距離公式的證明，涉及分類討論和兩點間的距離公式，屬中檔題．