Question

已知定義在R上的奇函數f（x），當x∈（0，+∞）時的解析式為y=x²+2．
（1）求這個函數在R上的解析式；
（2）畫出函數的圖象并直接寫出函數在R上的值域．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）令x＜0，則-x＞0，由x＞0時，f（x）=x²-2x，可求得f（-x），而f（x）為定義在R上的奇函數，從而可求得x＜0時的解析式，最后用分段函數表示函數f（x）的解析式即可．
（2）根據（1）求的解析式作出圖象即可．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函數，
∴f（-0）=-f（0），
∴f（0）=0，
令x＜0，則-x＞0，
∵x＞0時，f（x）=x²+2，
∴f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x，
又f（x）為定義在R上的奇函數，
∴f（-x）=-f（x）=-x²+2x．
綜上f（x）=

x2+2，x＞0 0 -x2+2x，x＜0

，
（2）圖象如圖所示：
由圖象可得，函數f（x）值域為（-∞，-2）∪{0}∪（2，+∞）

點評：本題考查奇函數的解析式的求法，考查函數的值域的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．