Question

若f（x）=

3

cos²ωx-sinωxcosωx-

3

2

（ω＞0）的圖象與直線y=m（m＞0）相切，并且切點橫坐標依次成公差為π的等差數列．
（1）求ω和m的值；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊．若（

A

2

，0）是函數f（x）圖象的一個對稱中心，且a=4，求△ABC外接圓的面積．

Answer 1

考點：正弦定理,三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用二倍角公式對函數解析式進行化簡整理，進而利用正弦函數的性質求得函數的ω和m的值．
（2）根據）（

A

2

，0）是函數f（x）圖象的一個對稱中心求得A的值，進而利用正弦定理求得外接圓的半徑，則外接圓的面積可得．

解答： 解：（1）f（x）=

3

cos²ωx-sinωxcosωx-

3

2

=-sin（2ωx-

π

3

），
由題意，函數f（x）的周期為π，且最大值為m，
所以，ω=1，m=1．
（2）∵（

A

2

，0）是函數f（x）圖象的一個對稱中心
∴sin（A-

π

3

）=0，又因為A為△ABC的內角，所以A=

π

3

．
△ABC中，設外接圓半徑為R，
則由正弦定理得：2R=

a

sinA

=

4

sin π 3

=

8 3

3

，即：R=

4 3

3

．
則△ABC的外接圓面積S=πR²=

16π

3

．

點評：本題主要考查了正弦定理的應用，三角函數恒等變換的應用，三角函數圖象與性質．考查了學生分析問題和運算能力．