Question

設函數f（x）=a-

2

2x+1

，x∈R，a為常數．
（1）當a=1時，判斷f（x）的奇偶性；
（2）求證：f（x）是R上的增函數；
（3）在（1）的條件下，若對任意t∈[1，2]有f（m2^t-2）+f（2^t）≥0，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）當a=1時，根據函數奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（2）根據函數單調性的定義即可證明f（x）是R上的增函數；
（3）根據函數奇偶性和單調性之間的關系將不等式進行轉化即可得到結論．

解答： 證明：（1）a=1時，f(x)=

2x-1

2x+1

，f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

2x+1

=-f(x)…（3分）
f（x）是奇函數（可不證明）
（2）證明如下：對任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（a-

2

2x1+1

）-（a-

2

2x2+1

）=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
則函數f（x）為增函數．
（3）在（1）成立的條件下，函數f（x）為奇函數且單調遞增，
則不等式等價為f（m2^t-2）≥-f（2^t）=f（-2^t），
即m2^t-2≥-2^t，
即m≥

2-2t

2t

=

1

2t-1

-1，t∈[1，2]，
∴m≥0．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用以及不等式恒成立問題，根據奇函數的性質，利用函數單調性和奇偶性的關系將不等式進行轉化是解決本題的關鍵．