Question

已知命題p：“方程

x2

2k-1

+

y2

k-1

=1表示橢圓”，命題q：“方程

x2

6-k

+

y2

k-4

=1表示雙曲線”，且p∨q是真命題，p∧q是假命題，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：根據橢圓及雙曲線的標準方程求出命題p，q下k的取值范圍，而根據p∨q為真命題，p∧q為假命題知p真q假，或p假q真，所以求出這兩種情況下k的取值范圍再求并集即可．

解答： 解：命題p等價于

2k-1＞0 k-1＞0 2k-1≠k-1

，即命題p：k＞1；
命題q等價于（6-k）（k-4）＜0，即命題q：k＜4或k＞6；
∵p∨q是真命題，p∧q是假命題，則p與q恰有一個真命題，一個假命題；
①若p為真命題，q為假命題，則k滿足

k＞1 4≤k≤6

，因此4≤k≤6；
②若p為假命題，q為真命題，則k滿足

k≤1 k＜4或k＞6

，因此k≤1；
綜上所述，k的取值范圍是{k|k≤1或4≤k≤6}．

點評：考查橢圓的標準方程，雙曲線的標準方程，以及p∨q，p∧q的真假和p，q真假的關系．