Question

9．已知函數f（x）=$\frac{x+2}{x}$．
（Ⅰ）寫出函數f（x）的定義域和值域；
（Ⅱ）證明函數f（x）在（0，+∞）為單調遞減函數；
（Ⅲ）試判斷函數g（x）=（x-2）f（x）的奇偶性，并證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）容易得出定義域{x|x≠0}，而分離常數得出$f（x）=1+\frac{2}{x}$，從而可得出f（x）的值域；
（Ⅱ）根據減函數的定義，設任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，證明f（x₁）＜f（x₂）便可得出f（x）在（0，+∞）上單調遞減；
（Ⅲ）先求出g（x），然后容易得出g（x）定義域關于原點對稱，并可得出g（-x）=-g（x），從而得出g（x）為奇函數．

解答 解：（Ⅰ）定義域{x|x≠0}；
又$f（x）=1+\frac{2}{x}$；
∴值域為{f（x）|f（x）≠1}；
（Ⅱ）證明：設x₁＞x₂＞0，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{x}_{1}}-\frac{2}{{x}_{2}}=\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴x₁x₂＞0，x₂-x₁＜0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴函數f（x）在（0，+∞）上為單調遞減函數；
（Ⅲ）$g（x）=（x-2）f（x）=\frac{{x}^{2}-4}{x}$；
其定義域{x|x≠0}關于原點對稱；
且$g（-x）=\frac{（-x）^{2}-4}{-x}=-\frac{{x}^{2}-4}{x}=-g（x）$；
∴函數g（x）為奇函數．

點評 考查函數定義域、值域的概念及求法，分離常數法的運用，減函數的定義，根據函數單調性定義證明函數單調性的方法和過程，奇函數的定義．