Question

1．已知函數f（x）=xlnx-ax，g（x）=-ax²+2x-2，（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間及最小值；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）在x∈[1，+∞]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數f（x）定義域為（0，+∞），f′（x）=lnx+1-a，由此利用導數性質能求出f（x）的單調區間及最小值．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x），問題等價于h_min≥0，x∈[1，+∞），求出h′（x）=2ax+lnx-a-1，令m（x）=2ax+lnx-a-1，則${m}^{'}（x）=2a+\frac{1}{x}$，由此利用導數性質能求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx-ax，∴函數f（x）定義域為（0，+∞），…（1分）
f′（x）=lnx+1-a，令f′（x）＞0，即lnx+1-a＞0，得x＞e^a-1，
令f′（x）＜0，即lnx+1-a＜0，得0＜x＜e^a-1，
∴f（x）的增區間為（e^a-1，+∞），減區間為（0，e^a-1），
∴f_min（x）=f（e^a-1）=e^a-1lne^a-1-a•e^a-1=-e^a-1．…（4分）
（Ⅱ）∵f（x）≥g（x）在x∈[1，+∞）恒成立，令h（x）=f（x）-g（x），
∴問題等價于h_min≥0，x∈[1，+∞），…（5分）
∵h（x）=xlnx+ax²-ax-2x+2，
∴h′（x）=2ax+lnx-a-1，
令m（x）=2ax+lnx-a-1，則${m}^{'}（x）=2a+\frac{1}{x}$，
∵x≥1，a＞0，∴${m}^{'}（x）=2a+\frac{1}{x}$＞0，
∴m（x）在[1，+∞）上單調遞增，∴當x≥1時，m（x）≥m（1）=a-1，…（8分）
若m（1）=a-1≥0，即a≥1時，h′（x）=m（x）≥m（1）=a-1≥0恒成立，
此時h（x）=xlnx+ax²-ax-2x+2在x∈[1，+∞）上單調遞增，∴h（x）≥h（1）=0，
∴a≥1滿足題意…（11分）
下面證明當0＜a＜1不合題意，
當0＜a＜1時，∵h′（x）=2ax+lnx-a-1，h′（1）=a-1＜0，h′（e）=2ae-a＞0，
由上面可知h′（x）在[1，+∞）上單調遞增，
∴h′（x）=2ax+lnx-a-1=0在（1，e）上有唯一解，設為x₀，
∴當x∈[1，x₀）時，h′（x）＜0，此時h（x₀）＜h（1）=0不合題意．
綜上a≥1．
∴a的取值范圍[1，+∞）．

點評 本題考查函數的單調區間和最小值的求法，考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構造法、等價轉化思想和導數性質的合理運用．