Question

13．設函數f（x）=$\frac{2x-3}{2x+1}$+a在[0，$\frac{3}{2}$]的值域為集合A，函數g（x）=$\sqrt{x+2}$+$\sqrt{2-x}$的定義域為集合B．
（1）若a=0，求∁_R（A∩B）；
（2）若A∩B=A，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 f（x）解析式變形后，確定出f（x）的最大值與最小值，進而確定出A，求出g（x）的定義域確定出B，
（1）把a=0代入確定出A，求出A與B的交集，根據全集R求出交集的補集即可；
（2）根據A與B的交集為A，得到A為B的子集，確定出a的范圍即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{2x-3}{2x+1}$+a=1+a-$\frac{4}{2x+1}$在區間[0，$\frac{3}{2}$]上單調遞增，
∴f（x）_max=f（$\frac{3}{2}$）=a，f（x）_min=f（0）=a-3，
∴A=[a-3，a]，
由$\left\{\begin{array}{l}x+2≥0\\ 2-x≥0\end{array}\right.$，解得：-2≤x≤2，
∴B=[-2，2]，
（1）當a=0時，A=[-3，0]，則有A∩B=[-2，0]，
∴∁_R（A∩B）=（-∞，-2）∪（0，+∞）；
（2）若A∩B=A，則有A⊆B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-3≥-2}\\{a≤2}\end{array}\right.$，
解得：1≤a≤2，
則實數a的取值范圍是[1，2]．

點評 此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵．