Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知AB∥CD，PA=AB=AD=2，DC=1，AD⊥AB，PD=PB=2$\sqrt{2}$，點M是PB的中點．
（Ⅰ）證明：CM∥平面PAD；
（Ⅱ）求直線CM與平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PA的中點N，連接MN，推導出四邊形MNCD是平行四邊形，從而CM∥DN，由此能證明CM∥平面PAD．
（Ⅱ）建立空間坐標系O-xyz，利用向量法能求出直線CM與平面PDC所成角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）取PA的中點N，連接MN，有MN$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AB$，
∴MN$\underset{∥}{=}$DC，
∴四邊形MNCD是平行四邊形，
∴CM∥DN，
又DN?平面PAD，CM?平面PAD《
故CM∥平面PAD．…（6分）
解：（Ⅱ）依題意知：PA²+AB²=PD²，∴PA⊥AB，PA⊥AD，
又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，
建立如圖所示空間坐標系O-xyz，
則C（2，1，0），M（0，1，1），D（2，0，0），P（0，0，2），
∴$\overrightarrow{CM}=（{-2\;\;，\;\;0\;\;，\;\;1}）$，$\overrightarrow{DC}=（{0\;\;，\;\;1\;\;，\;\;0}）$，$\overrightarrow{DP}=（{-2\;\;，\;\;0\;\;，\;\;2}）$，
設平面PDC的法向量為$\overrightarrow n=（{a\;\;，\;\;b\;\;，\;\;c}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{DC}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{DP}=0\end{array}\right.$，有$\left\{\begin{array}{l}b=0\\-2a+2c=0\end{array}\right.$，得$\overrightarrow n=（{1\;\;，\;\;0\;\;，\;\;1}）$，
所以$cos＜\overrightarrow n\;\;，\;\;\overrightarrow{CM}≥\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{CM}}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{CM}}|}}=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
故直線CM與平面PDC所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．