Question

18．已知當x∈[0，1]時，函數y=（mx-1）² 的圖象與y=$\sqrt{x}$+m的圖象有且只有一個交點，則正實數m的取值范圍是（　　）

• A． （0，1]∪[2$\sqrt{3}$，+∞）
• B． （0，1]∪[3，+∞）
• C． （0，$\sqrt{2}$）∪[2$\sqrt{3}$，+∞）
• D． （0，$\sqrt{2}$]∪[3，+∞）

Answer 1

分析 根據題意，由二次函數的性質分析可得：y=（mx-1）² 為二次函數，在區間（0，$\frac{1}{m}$）為減函數，（$\frac{1}{m}$，+∞）為增函數，分2種情況討論：①、當0＜m≤1時，有$\frac{1}{m}$≥1，②、當m＞1時，有$\frac{1}{m}$＜1，結合圖象分析兩個函數的單調性與值域，可得m的取值范圍，綜合可得答案．

解答 解：根據題意，由于m為正數，y=（mx-1）² 為二次函數，在區間（0，$\frac{1}{m}$）為減函數，（$\frac{1}{m}$，+∞）為增函數，
函數y=$\sqrt{x}$+m為增函數，
分2種情況討論：
①、當0＜m≤1時，有$\frac{1}{m}$≥1，
在區間[0，1]上，y=（mx-1）² 為減函數，且其值域為[（m-1）²，1]，
函數y=$\sqrt{x}$+m為增函數，其值域為[m，1+m]，
此時兩個函數的圖象有1個交點，符合題意；
②、當m＞1時，有$\frac{1}{m}$＜1，
y=（mx-1）² 在區間（0，$\frac{1}{m}$）為減函數，（$\frac{1}{m}$，1）為增函數，
函數y=$\sqrt{x}$+m為增函數，其值域為[m，1+m]，
若兩個函數的圖象有1個交點，則有（m-1）²≥1+m，
解可得m≤0或m≥3，
又由m為正數，則m≥3；
綜合可得：m的取值范圍是（0，1]∪[3，+∞）；
故選：B．

點評 本題考查函數圖象的交點問題，涉及函數單調性的應用，關鍵是確定實數m的分類討論．