Question

9．設△ABC的內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，且滿足（a-b）（sinA+sinB）=（a-c）sinC．
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，求AC邊上高h的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得：a²+c²-b²=ac，利用余弦定理可求cosB=$\frac{1}{2}$，結合范圍B∈（0，π），可求B的值．
（2）由余弦定理，基本不等式可求9≥ac，利用三角形的面積公式可求高h的最大值．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）∵（a-b）（sinA+sinB）=（a-c）sinC，
∴由正弦定理可得：（a-b）（a+b）=（a-c）c，可得：a²+c²-b²=ac，…2分
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，…4分
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$…7分
（2）∵9=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥ac，當且僅當a=c時等號成立，…10分
∵$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$bh，…12分
∴h=$\frac{acsin\frac{π}{3}}{3}$≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，即高h的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$…14分

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．