Question

7．設橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F，右頂點為A，離心率為$\frac{1}{2}$．已知A是拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，F到拋物線的準線l的距離為$\frac{1}{2}$．
（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；
（II）設l上兩點P，Q關于x軸對稱，直線AP與橢圓相交于點B（B異于A），直線BQ與x軸相交于點D．若△APD的面積為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求直線AP的方程．

Answer 1

分析 （I）根據橢圓和拋物線的定義、性質列方程組求出a，b，p即可得出方程；
（II）設AP方程為x=my+1，聯立方程組得出B，P，Q三點坐標，從而得出直線BQ的方程，解出D點坐標，根據三角形的面積列方程解出m即可得出答案．

解答 （Ⅰ）解：設F的坐標為（-c，0）．
依題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{a=\frac{p}{2}}\\{a-c=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得a=1，c=$\frac{1}{2}$，p=2，于是b²=a²-c²=$\frac{3}{4}$．
所以，橢圓的方程為x²+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1，拋物線的方程為y²=4x．
（Ⅱ）解：直線l的方程為x=-1，設直線AP的方程為x=my+1（m≠0），
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，解得點P（-1，-$\frac{2}{m}$），故Q（-1，$\frac{2}{m}$）．
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{x}^{2}+\frac{4{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去x，整理得（3m²+4）y²+6my=0，解得y=0，或y=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$．
∴B（$\frac{-3{m}^{2}+4}{3{m}^{2}+4}$，$\frac{-6m}{3{m}^{2}+4}$）．
∴直線BQ的方程為（$\frac{-6m}{3{m}^{2}+4}$-$\frac{2}{m}$）（x+1）-（$\frac{-3{m}^{2}+4}{3{m}^{2}+4}+1$）（y-$\frac{2}{m}$）=0，
令y=0，解得x=$\frac{2-3{m}^{2}}{3{m}^{2}+2}$，故D（$\frac{2-3{m}^{2}}{3{m}^{2}+2}$，0）．
∴|AD|=1-$\frac{2-3{m}^{2}}{3{m}^{2}+2}$=$\frac{6{m}^{2}}{3{m}^{2}+2}$．
又∵△APD的面積為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，∴$\frac{1}{2}×$$\frac{6{m}^{2}}{3{m}^{2}+2}$×$\frac{2}{|m|}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
整理得3m²-2$\sqrt{6}$|m|+2=0，解得|m|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴m=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴直線AP的方程為3x+$\sqrt{6}$y-3=0，或3x-$\sqrt{6}$y-3=0．

點評 本題考查了橢圓與拋物線的定義與性質，直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．