Question

15．已知函數f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（1）求函數f（x）在點（0，f（0）處的切線方程；   
（2）求函數f（x）單調區間和極值．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導數，切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程；
（2）判斷當a＞0，a≠1時，總有f′（x）在R上是增函數，列表可得f（x），x，f′（x）的對應關系，即可得到所求單調區間和極值．

解答 解：（1）因為函數f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1），
所以f′（x）=a^xlna+2x-lna，f′（0）=0，…（3分）
又因為f（0）=1，
所以函數f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=1． …（6分）
（2）由（1）可得f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
因為當a＞0，a≠1時，總有f′（x）在R上是增函數，…（9分）
又f′（0）=0，

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	減函數	極小值	增函數

故函數f（x）的單調簡區間為（-∞，0），單調增區間為（0，+∞）．
函數存在極小值為f（0）=1，無極大值．…（12分）

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程和單調區間、極值，考查運算化簡能力，屬于中檔題．