Question

7．設函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知當x∈[0，1]時，f（x）=（${\frac{1}{2}}$）^1-x，則
①2是函數f（x）的一個周期；
②函數f（x）在（1，2）上是減函數，在（2，3）上是增函數；
③函數f（x）的最大值是1，最小值是0；
④x=1是函數f（x）的一個對稱軸；
⑤當x∈（3，4）時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-3．
其中所有正確命題的序號是①②④⑤．

Answer 1

分析 根據已知，確定函數f（x）的周期性，單調性，奇偶性，對稱性，最值等，進而判斷各個命題的真假，可得答案．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[（x+1）-1]=f（x），
即①2是函數f（x）的一個周期，正確；
當x∈[0，1]時，f（x）=（${\frac{1}{2}}$）^1-x為增函數；
由函數f（x）是定義在R上的偶函數，
可得：當x∈[-1，0]時，f（x）為減函數；
再由函數的周期為2，可得：
②函數f（x）在（1，2）上是減函數，在（2，3）上是增函數，正確；
由②得：當x=2k，k∈Z時，函數取最小值$\frac{1}{2}$，
當x=2k+1，k∈Z時，函數取最大值1，
故③函數f（x）的最大值是1，最小值是0，錯誤；
由②得：④x=k，k∈Z均為函數圖象的對稱軸，
故④x=1是函數f（x）的一個對稱軸，正確；
⑤當x∈（3，4）時，4-x=（0，1），
即f（4-x）=f（2-x）=f（-x）=f（x）=（${\frac{1}{2}}$）^1-（4-x）=（$\frac{1}{2}$）^x-3，
即④f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-3．正確
故答案為：①②④⑤

點評 本題以命題的真假判斷應用為載體，考查了函數的周期性，單調性，奇偶性，對稱性，最值，解析式的求法等知識點，難度中檔．