Question

17．函數f（x）=ax²+2x+2在x∈[1，4]上恒滿足f（x）＞0，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． （-4，+∞）
• C． （-$\frac{5}{8}$，+∞）
• D． [-$\frac{5}{8}$，+∞）

Answer 1

分析 分離變量，得到a＞-$\frac{2}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$，利用換元法結合二次函數的閉區間上的最值求解，即可得到a的取值范圍．

解答 解：函數f（x）=ax²+2x+2在x∈[1，4]上恒滿足f（x）＞0，
即a＞$-\frac{2x+2}{{x}^{2}}$=-$\frac{2}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
令t=$\frac{1}{x}$，t∈[$\frac{1}{4}$，1]，記m（t）=-2t²-2t，對稱軸為t=-$\frac{1}{2}$，
t∈[$\frac{1}{4}$，1]，m（t）是減函數，
則m（t）_max=m（$\frac{1}{4}$）=-$\frac{5}{8}$，∴a＞-$\frac{5}{8}$．
故選：C．

點評 考查二次函數的對稱軸及二次函數的單調性，以及根據函數的單調性求函數的最小值．