Question

2．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{3}x|，0＜x≤3}\\{2-lo{g}_{3}x，x＞3}\end{array}\right.$，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則a+b+c的取值范圍為（$\frac{19}{3}$，11）（用區間表示）

Answer 1

分析 先畫出圖象，再根據條件即可求出其范圍．不妨設a＜b＜c，利用f（a）=f（b）=f（c），可得，-log₃a=log₃b=2-log₃c，再構造函數g（x）=x+$\frac{10}{x}$，由此可確定a+b+c的取值范圍．

解答 解：作出函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{3}x|，0＜x≤3}\\{2-lo{g}_{3}x，x＞3}\end{array}\right.$，的圖象，
不妨設a＜b＜c，a∈（$\frac{1}{3}$，1），b∈（1，3），
c∈（3，9），
由題意可知，-log₃a=log₃b=2-log₃c
故而$\left\{\begin{array}{l}{ab=1}\\{bc=9}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}}\\{c=\frac{9}}\end{array}\right.$，
∴a+b+c=b+$\frac{10}$，b∈（1，3）
令g（x）=x+$\frac{10}{x}$，x∈（1，3），則g（x）在（1，3）遞減，g（1）=11，g（3）=$\frac{19}{3}$，
∴g（x）∈（$\frac{19}{3}$，11），
∴a+b+c的取值范圍為（$\frac{19}{3}$，11），
故答案為：（$\frac{19}{3}$，11）

點評 本題考查分段函數，考查絕對值函數，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．