Question

10．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE=$\sqrt{6}$，DE=3，∠BAD=60°，G為BC的中點．
（1）求證：FG∥平面BED；
（2）求證：平面BED⊥平面AED；
（3）求多面體EF-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）取BD的中點O，連接OE，OG，推導出四邊形OGFE是平行四邊形，從而FG∥OE，由此能證明FG∥平面BED．
（2）取AB中點H，連結DM，推導出BD⊥AD，BD⊥AE，從而BD⊥平面AED，由此能證明平面BED⊥平面AED．
（3）連結HO，并延長交CD于I，連FH，FI．推導出多面體ADE-HIF為三棱柱，四邊形AEFH為平行四邊形，由此能求出多面體EF-ABCD的體積．

解答 （本題滿分12分）
證明：（1）如圖，取BD的中點O，連接OE，OG，
在△BCD中，∵G是BC的中點，
∴OG∥DC，且OG=$\frac{1}{2}$DC=1，
又∵EF∥AB，AB∥DC，∴EF∥OG，且EF=OG，
∴四邊形OGFE是平行四邊形，∴FG∥OE．
又FG?平面BED，OE?平面BED，∴FG∥平面BED．
（2）在△ABD中，AD=1，AB=2，取AB中點H，連結DM，
∵AD=1，AB=2，∴AD=AH，又∠BAD=60°，∴DH=AH=BH，
∴∠ADB=90°，∴BD⊥AD，
又AE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥AE，
∵AE∩AD=A，∴BD⊥平面AED．
又∵BD?平面BED，∴平面BED⊥平面AED．
解：（3）連結HO，并延長交CD于I，連FH，FI．
∵H，O分別為AB，BD的中點，∴OH∥AD，∴I是CD中點，
∵EF∥AB，AB=2，EF=1，
∴多面體ADE-HIF為三棱柱，體積為${S}_{△ADE}•OD=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
且四邊形AEFH為平行四邊形，∴FH∥AE，FH=AE，
∵AE⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD，
四棱錐F-BCIH的體積為$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•AE$=$\frac{1}{6}×1×\sqrt{3}×\sqrt{6}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴多面體EF-ABCD的體積為$\frac{3\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查線面平行、面面垂直的證明，考查多面體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．