Question

13．設函數f（x）=（x-1）e^x-kx²（k∈R）．
（I）若函數在（1，f（1））處的切線過（0，1）點，求k的值；
（II）當k∈（$\frac{1}{2}$，1]時，試問，函數f（x）在[0，k]是否存在極大值或極小值，說明理由．．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，計算f′（1），f（1），代入切線方程，求出k的值即可；
（Ⅱ）令g（k）=ln（2k）-k，k∈（$\frac{1}{2}$，1]，根據函數的單調性判斷函數的極值即可．

解答 解：（I） f′（x）=e^x+（x-1）e^x-2kx=xe^x-2kx=x（e^x-2k），…（1分）
f′（1）=e-2k，f（1）=-k，…（2分）
設切線方程為：y+k=（e-2k）（x-1），
把（0，1）代入得k=e+1，…（4分）
（II）令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=ln（2k），
令g（k）=ln（2k）-k，k∈（$\frac{1}{2}$，1]，…（5分）
則g′（k）=$\frac{1}{k}$-1=$\frac{1-k}{k}$≥0，
所以g（k）在（$\frac{1}{2}$，1]上單調遞增，…（7分）
所以g（k）≤g（1）=ln2-1=ln2-lne＜0，
從而ln（2k）＜k，所以ln（2k）∈（0，k），…（9分）
所以當x∈（0，ln（2k））時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
當x∈（ln（2k），+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，…（10分）
所以函數f（x）在[0，k]存在極小值，無極大值．…（12分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、極值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．