Question

12．設0＜a≤$\frac{5}{4}$，若滿足不等式|x-a|＜b的一切實數x，亦滿足不等式|x-a²|＜$\frac{1}{2}$，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可得b＞0，求出這兩個不等式的解集，由題意可得 a²-$\frac{1}{2}$≤a-b，且 a+b≤a²+$\frac{1}{2}$，0＜a≤$\frac{5}{4}$．由此可得b小于或等于-a²+a+$\frac{1}{2}$的最小值，且b小于或等于 a²-a+$\frac{1}{2}$的最小值，由此求得實數b的取值范圍．

解答 解：解：由題意可得b＞0是不用求的，否則|x-a|＜b都沒解了．
故有-b＜x-a＜b，即a-b＜x＜a+b．
由不等式|x-a²|＜$\frac{1}{2}$得，-$\frac{1}{2}$＜x-a²＜$\frac{1}{2}$，即 a²-$\frac{1}{2}$＜x＜a²+$\frac{1}{2}$．
第二個不等式的范圍要大于第一個不等式，這樣只要滿足了第一個不等式，
肯定滿足第二個不等式，命題成立．
故有 a²-$\frac{1}{2}$≤a-b，且 a+b≤a²+$\frac{1}{2}$，0＜a≤$\frac{5}{4}$．
化簡可得 b≤-a²+a+$\frac{1}{2}$，且b≤a²-a+$\frac{1}{2}$．
由于-a²+a+$\frac{1}{2}$=-（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$∈[$\frac{3}{16}$，$\frac{3}{4}$]，故 b≤$\frac{3}{16}$．
由于 a²-a+$\frac{1}{2}$=（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{13}{16}$]．故 b≤$\frac{1}{4}$．
綜上可得 0＜b≤$\frac{3}{16}$．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，求二次函數在閉區間上的值域，函數的恒成立問題，屬于中檔題．